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解説

問題 A3 の想定解法では量子回路の深さが $n+1$ となり、この問題を解くことができません。では、どのような量子回路を設計すれば良いのでしょうか？

まず、量子回路の深さを小さくするためには、なるべく連続して同じ量子ビットに対して量子ゲートを作用させるのを避ける必要があります。

以下の $4$ 量子ビットの例をみてみましょう。

問題 A3 解説の回路との違いは、最も右側の制御 $X$ ゲートの制御ビットが 1番目から 2番目に変わっていることです。

このとき、最も右側の制御ゲートは2番目と4番目の量子ビットに対する操作であり、1つ左側の制御ゲートは1番目と3番目の量子ビットに対する操作であるため、この2つの操作は同時に行うことができ、回路の深さを1つ縮めることができます。

量子状態の遷移をみていきます。 2つ目の制御 $X$ ゲートを作用させるまでは、問題 A3 の想定解法と同じです。

\begin{equation} \ket{0000} \xrightarrow{H(0)} \xrightarrow{CX(0,1)}\xrightarrow{CX(0,2)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000} + \ket{1110} \rparen \end{equation}

次に、2番目の量子ビットを制御ビット、4番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000} + \ket{1110} \rparen \xrightarrow{CX(1,3)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0000} + \ket{1111} \rparen \end{equation}

最後に $Z$ ゲートを作用させることで $\ket{11 \cdots 11}$ の位相を反転させます。

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0...0} + \ket{1...1} \rparen \xrightarrow{Z(0)} \frac{1}{\sqrt{2}} \lparen \ket{0...0} - \ket{1...1} \rparen \end{equation}

この発想を一般の $n$ 量子ビットの量子回路に対して一般化すると、以下の操作を繰り返すことになります。

1番目の量子ビットを制御ビット、 $2i$ 番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させる
2番目の量子ビットを制御ビット、 $2i + 1$ 番目の量子ビットを標的ビットとして制御 $X$ ゲートを作用させる

例えば、 $n = 7$ の場合は以下のような回路が構成できます。

以上の操作によって量子回路の深さは $\lfloor n/2 \rfloor + 3$ 以下になり、この問題を解くことができます。

解答例

解答例は以下の通りです。

from qiskit import QuantumCircuit
 
 
def solve(n: int) -> QuantumCircuit:
    qc = QuantumCircuit(n)
 
    qc.h(0)
    qc.cx(0, 1)
 
    for i in range(2, n - 1, 2):
        qc.cx(0, i)
        qc.cx(1, i + 1)
 
    if n % 2 != 0:
        qc.cx(0, n - 1)
 
    qc.z(0)
 
    return qc

A4: Generate State 12(∣0⟩−∣2n−1⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen2​1​(∣0⟩−∣2n−1⟩) II

解説

解答例

A4: Generate State $\frac{1}{\sqrt{2}}\lparen\ket{0}-\ket{2^{n}-1}\rparen$ II